Mutlak değer

Bu madde hiçbir kaynak içermemektedir. Lütfen güvenilir kaynaklar ekleyerek madde içeriğinin geliştirilmesine yardımcı olun. Kaynaksız içerik itiraz konusu olabilir ve kaldırılabilir. Kaynak ara: "Mutlak değer" – haber · gazete · kitap · akademik · JSTOR (Haziran 2016) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin)

Matematikte, mutlak değer bir gerçek sayının işaretsiz değerini verir. Örneğin, 3; hem 3'ün hem de -3'ün mutlak değeridir. Bilgisayarlarda ise, bu ifade etmek için kullanılan matematiksel fonksiyon genelde abs(...)'dir (Örnek: abs(sayi) gibi.)^[1]

Mutlak değer fonksiyonunun gerçel sayılarla kullanımı dışında, geniş bir matematiksel kullanım alanı vardır. Örneğin, mutlak değer karmaşık sayılar gibi kümeler için de tanımlanabilir.Kısacası mutlak değer; bir sayının 0'a olan uzaklığıdır.

Karmaşık sayılara kadar olan kısımda, verilen mutlak değer özellikleri karmaşık sayılar kümesine aynen uygulanamaz. Önerme 1'i ele alırsak:

${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}$

her gerçel sayının bir karmaşık sayı olduğunu ve,

bir karmaşık sayının

${\displaystyle z=x+iy\,}$

olduğunu düşünürsek göreceğiz ki, gerçel sayılarda y katsayısı 0'a eşit. Öyleyse gerçekte ${\displaystyle z}$'nin mutlak değer (ya da karmaşık sayılarda bazen modül olarak adlandırılır) şu şekilde tanımlanabilir.

Öyleyse bir gerçel sayıda bu işlemi şöyle gerçekleştirebiliriz:

${\displaystyle |x+i0|={\sqrt {x^{2}+0^{2}}}={\sqrt {x^{2}}}=|x|.}$

Mutlak değer bir sayının orijine uzaklığını verir. Karmaşık sayılar iki boyutlu düzlem üzerinde incelendiğinden Pisagor teoremi iki nokta arasındaki uzaklığı bulmada işimize yarayacaktır.Karmaşık düzlemde iki karmaşık sayı arasındaki uzunluğu bulmak içinse aynı gerçel sayılardaki

${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y=r(\cos \phi +\mathrm {i} \sin \phi )\,}$

ise ve

${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$

z karmaşık sayısının eşlenik'i ise, açıkça görülür ki:

${\displaystyle |z|=r\,}$

${\displaystyle |z|=|{\bar {z}}|}$

${\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}}$

• Matematiksel fonksiyonların listesi