Osgood önsavı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Osgood önsavı çok karmaşık değişkenli ve sürekli bir fonksiyonun her bir değişkenine göre ayrı ayrı holomorfluğunun fonksiyonun holomorfluğunu vereceğini ifâde eden temel bir sonuçtur. Önsav, bu sonucu 1899 yılında kanıtlayan William Fogg Osgood'un adını taşımaktadır.^[1]

Teoremdeki süreklilik varsayımı düşürülebilir ve bu hâli Hartogs teoremi olarak bilinir. Ancak, Hartogs teroreminin kanıtı çok daha uzun ve daha zordur.

Karmaşık değerli bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonu bir ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ açık kümesinde sürekliyse ve her koordinat değişkenine göre ayrı ayrı holomorfsa, o zaman ${\displaystyle D}$ üzerinde holomorftur.^[2]

Bir ${\displaystyle w\in D}$ verilsin ve kapanışı ${\displaystyle D}$ içinde kalacak şekilde bir disk çarpımı alalım ve bu diski ${\displaystyle D(w,r)}$ ile gösterelim. Her değişkende ayrı ayrı holomorfluk olduğuna göre, Cauchy integral formülü peşpeşe yazılabilir. Yâni, her ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n})\in D(w,r)}$ için

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z_{1},\ldots ,z_{n})&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|w_{1}-\zeta _{1}|=r_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}{\zeta _{1}-z_{1}}}\,d\zeta _{1}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{|w_{2}-\zeta _{2}|=r_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{|w_{1}-\zeta _{1}|=r_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},z_{3},\ldots ,z_{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})}}\,d\zeta _{1}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|w_{n}-\zeta _{n}|=r_{n}}\,d\zeta _{n}\cdots \int _{|w_{2}-\zeta _{2}|=r_{2}}\,d\zeta _{2}\int _{|w_{1}-\zeta _{1}|=r_{1}}{\frac {f(\zeta _{1},\zeta _{2},\ldots ,\zeta _{n})}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}\end{aligned}}}$

olarak yazılabilir. Sabit her ${\displaystyle z}$ noktası için, yukarıda en sağda integrali alınan fonksiyon ${\displaystyle n}$ tane çember çarpımında süreklidir. Bu yüzden, yinelemeli integrali sadece bir integral altına almak mümkündür.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|w_{j}-\zeta _{j}|=r_{j}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}\,d\zeta _{1}d\zeta _{2}\cdots d\zeta _{n}\end{aligned}}}$

Yine, sabit her ${\displaystyle z}$ noktası için,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{(\zeta _{1}-z_{1})(\zeta _{2}-z_{2})\cdots (\zeta _{n}-z_{n})}}&=\sum _{\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}=0}^{\infty }{\frac {(z_{1}-w_{1})^{\lambda _{1}}(z_{2}-w_{2})^{\lambda _{2}}\cdots (z_{n}-w_{n})^{\lambda _{n}}}{(\zeta _{1}-w_{1})^{\lambda _{1}+1}(\zeta _{2}-w_{2})^{\lambda _{2}+1}\cdots (\zeta _{n}-w_{n})^{\lambda _{n}+1}}}\end{aligned}}}$

serisi yukarıda en son yazılan integralin alındığı küme üzerindeki her ${\displaystyle \zeta }$ için mutlak ve düzgün yakınsar. Sonuç olarak, bu ifâde integralde yazılıp integralle toplamın sırası değiştirilip, genel bir ${\displaystyle a_{\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}}$ teriminin

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}}&={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{|w_{j}-\zeta _{j}|=r_{j}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta _{1}-w_{1})^{\lambda _{1}+1}(\zeta _{2}-w_{2})^{\lambda _{2}+1}\cdots (\zeta _{n}-w_{n})^{\lambda _{n}+1}}}\,d\zeta _{1}d\zeta _{2}\cdots d\zeta _{n}\end{aligned}}}$

olarak elde edildiği bir kuvvet serisi elde edilir. Bu yüzden, ${\displaystyle f}$ analitik yâni holomorf olur.

Bu sonucun gerçel değişkenli fonksiyonlar için bir benzeri yoktur. Diğer deyişle, bir ${\displaystyle f\colon {\textbf {R}}^{n}\to {\textbf {R}}}$ fonksiyonunun her gerçel değişkene göre türevlenebilir (ve hatta analitik) olmasının fonksiyonun sürekli olduğunu vermeyeceği bilinmektedir. Örneğin, kartezyen düzlemde sıfır noktası hariç her noktada tanımlı

${\displaystyle f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$

fonksiyonu verilsin ve bu fonksiyon için ayrıca ${\displaystyle f(0,0)=0}$ olarak tanımlansın. O zaman, bu fonksiyonun ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$'ye göre kısmi türevleri ${\displaystyle (0,0)}$'da iyi tanımlıdır; ancak, fonksiyonun kendisi ${\displaystyle (0,0)}$'da sürekli değildir. Gerçekten de, ${\displaystyle x=y}$ ve ${\displaystyle x=-y}$ doğruları üzerinden alınan limitler birbirine eşit değildir.