İki Varyansın Farklı Olup Olmadığını Belirleme Yöntemi

Birçok sözel bilim dalında, örneğin anketler, ekonomi, psikoloji ve sosyoloji gibi alanlarda, iki popülasyonun varyanslarının farklı olup olmadığına karar vermek önemlidir. Popülasyonların varyansları farklıysa, bu, analiz edilen özelliklerin iki popülasyon arasında farklı olduğunu gösterir.

Bu makalede, iki popülasyonun varyanslarının farklı olup olmadığını belirlemek için kullanılan istatistiksel yöntemleri inceleyeceğiz. İlk olarak, iki popülasyonun varyansını tanımlayacağız ve daha sonra bu yeni yöntemleri uygulayarak iki varyansın farklı olup olmadığını belirlemek için ne yapmamız gerektiğini açıklayacağız.

Popülasyonların Varyansı Nedir?

Popülasyon varyansı, rastgele seçilen tüm örneklerin ortalama değerden ne kadar uzak olduğunu ölçen bir istatistiksel ölçüttür. Popülasyonun varyansı büyükse, örneklem dağılımı daha geniş olacaktır. Popülasyonun varyansı küçükse, örneklem dağılımı daha az değişken olacaktır.

Varyans, kareli farkların ortalamasıdır. Örneğin, bir sınıfta şöyle bir örneklem alabilirsiniz:

Bu örneklem için ortalama, 12 olur. Buna göre, her sayının ortalama değere uzaklığı hesaplanabilir:

10 - 12 = -2
12 - 12 = 0
12 - 12 = 0
14 - 12 = 2
15 - 12 = 3

Bu değerlerin kareleri alınıp ortalaması alınır:

$frac{(-2)^2+(0)^2+(0)^2+(2)^2+(3)^2}{5-1}=5$

Bu örneklemin varyansı, 5'tir.

İki popülasyonun varyanslarını karşılaştırmak için kullanılan test, farklı varyans analizidir (ANOVA). ANOVA, iki popülasyonun varyansları arasındaki farkın istatistiksel olarak anlamlı olup olmadığını belirlemek için kullanılır.

Test için hipotezler şöyle tanımlanır:

Null hipotezi (H0): İki popülasyonun varyansları aynıdır
Alternatif hipotezi (H1): İki popülasyonun varyansları farklıdır

Bir F istatistiği hesaplanarak, hipotezler test edilir. F istatistiği, popülasyon varyanslarının oranıdır:

$F=frac{text{Larger Sample Variance}}{text{Smaller Sample Variance}}$

Eğer F istatistiği belirli bir alfa düzeyinde kritik değeri aşarsa, null hipotezi reddedilir ve iki popülasyonun varyansları arasındaki fark istatistiksel olarak anlamlıdır.

Örnek Bir Uygulama

Aşağıdaki örnek iki popülasyonun varyansını karşılaştırmak için farklı varyans analizini gösterir. Bir web sitesinin bir ay boyunca alınan iki reklam kampanyasının tıklama sayısı verileri incelenmiştir.

İlk reklam kampanyası 250 tıklama, standart sapması 15 olan bir normal dağılım izlerken, ikinci reklam kampanyası 275 tıklama, standart sapması 20 olan bir normal dağılım izler. Reklam kampanyalarının tıklama sayısındaki farkın anlamlı olup olmadığı test edilecektir.

İlk önce Null ve Alternatif Hipotezler tanımlanır:

Null hipotezi (H0): İki reklam kampanyasının varyansı aynıdır
Alternatif hipotezi (H1): İki reklam kampanyasının varyansı farklıdır

F istatistiği hesaplanır:

$F=frac{20^2}{15^2}=1.78$

Örneklem büyüklüğü n1 = 100 ve n2 = 120 olduğundan, 1.78 değeri F dağılımı tablosunda aranabilir. Alfa seviyesi 0.05 olarak belirlenirse, kritik F istatistiği 1.42 olarak hesaplanır.

1.78 > 1.42 olduğu için H0 reddedilir ve iki reklam kampanyasının varyansları farklıdır. Bu sonuç, reklam kampanyalarının tıklama sayılarındaki farkın istatistiksel olarak anlamlı olduğunu ve reklam kampanyalarının tıklama sayılarında farklılıklar olduğunu gösterir.

Sonuç

Bu makalede, iki popülasyonun varyanslarının farklı olup olmadığını belirlemek için kullanılan istatistiksel yöntemleri inceledik. İki popülasyon varyansının oranı olan F istatistiğini hesaplayarak, null hipotez (iki popülasyonun varyansları aynıdır) test edilir ve istatistiksel olarak anlamlı sonuçlara ulaşılır. Bu yöntemler, ekonomi, sosyoloji, psikoloji ve diğer birçok sosyal bilimlerde özellikle önemlidir.