Görüntü kümesi

Günümüz dünyasında, Görüntü kümesi geniş bir yelpazedeki insanlar için büyük önem taşıyan ve ilgi duyulan bir konu haline geldi. Görüntü kümesi, toplum üzerindeki etkisinden, tarihsel öneminden veya günümüze olan etkisinden dolayı birçok izleyicinin merakını ve ilgisini çeken bir konudur. Tarih boyunca Görüntü kümesi çalışma, tartışma ve analiz konusu olmuştur ve önemi bugün de hissedilmektedir. Bu makalede, bu heyecan verici konuya eksiksiz ve ayrıntılı bir genel bakış sağlamak için Görüntü kümesi'in kökenlerinden çağdaş dünyadaki önemine kadar farklı yönlerini kapsamlı bir şekilde inceleyeceğiz.

f, X tanım kümesinden Y değer kümesine bir fonksiyon olsun. Y içindeki küçük çember, f kümesinin görüntüsüdür.

Matematikte görüntü kümesi bir fonksiyonun tüm girdi değerlerinin kümesinin veya daha kesin bir söylemle tanım kümesinin tüm elemanlarının fonksiyon tarafından gönderildiği kümedir.

Kesin tanım

Bir kümenin bir öğesinin görüntüsü.

X ve Y küme, f ise f: X → Y olarak tanımlanmış bir fonksiyon ve x ise X 'in bir elemanı olsun. O zaman, x 'in f altındaki görüntüsü f(x) ile gösterilen ve f 'nin x ile bağdaştırdığı Y kümesinin biricik y elemanıdır. Bir fonksiyonun görüntüsü veya daha kesin bir dille bir fonksiyonun tanım kümesinin görüntüsü, Gör (f) veya İngilizce karşılığı olan image kelimesi sebebiyle Im (f) ile gösterilir. Daha matematiksel bir gösterimle f 'nin görüntü kümesi, kümesidir.[1]

f nin görüntü kümesi değer kümesi ile aynı küme olabilir veya değer kümesinin bir altkümesi olabilir. f örten fonksiyon olmadıkça genelde değer kümesinden daha küçük bir kümedir.

B ⊆ Y kümesinin f altındaki ters görüntü kümesi ise

f -1 = {x ∈ X | f(x) ∈ B}

şeklinde tanımlanır. Bir noktanın, mesela y, görüntüsü f -1 ile gösterilir. B 'nin ters görüntü kümesi ise f -1 veya f -1(B) ile gösterilir. Buradaki f -1 gösterimi aynı gösterimi kullanan ters fonksiyon ile karıştırılmamalıdır.

Örnekler

1. f: {1,2,3} → {a,b,c,d} fonksiyonu

şeklinde tanımlansın. {2,3} kümesinin f altındaki görüntüsü f({2,3}) = {d,c} olur. f 'nin görüntü kümesi ise {a,d,c} kümesidir. {a,c}'nin ters görüntü kümesi f -1({a,c}) = {1,3} olur.

2. f: R → R fonksiyonu f(x) = x2 şeklinde tanımlansın.

{-2,3} kümesinin f altındaki görüntüsü f({-2,3}) = {4,9}, f 'nin görüntüsü R+, {4,9} kümesinin f altındaki ters görüntü kümesi f -1({4,9}) = {-3,-2,2,3} olur.

Sonuçlar

f: X → Y Xn 'in her A, A1 ve A2 altkümesi için ve Y 'nin tüm B, B1 ve B2 altkümeleri için şu sonuçlar vardır:

  • f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2)
  • f(A1 ∩ A2) ⊆ f(A1) ∩ f(A2)
  • f -1(B1 ∪ B2) = f -1(B1) ∪ f -1(B2)
  • f -1(B1 ∩ B2) = f -1(B1) ∩ f -1(B2)
  • f(f -1(B)) ⊆ B
  • f -1(f(A)) ⊇ A
  • A1 ⊆ A2 → f(A1) ⊆ f(A2)
  • B1 ⊆ B2 → f -1(B1) ⊆ f -1(B2)
  • f -1(BC) = (f -1(B))C
  • (f |A)−1(B) = A ∩ f -1(B).

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Smith, William K. Inverse Functions, MacMillan, 1966 (s. 8).

Kaynakça